Énoncé
Un électron est confiné dans une boite unidimensionnelle de longueur L = 10 Å.
- Calculer les quatre plus grandes longueurs d'onde du spectre de raies de ce système. Représenter schématiquement sur un diagramme d'énergie les transitions correspondant à ces raies.
- Tracer (à l'aide d'un logiciel ou sur un papier millimétré) la densité de probabilité de l'électron en fonction de sa position dans la boite, dans l'état fondamental et dans le premier état excité.
- Calculer la probabilité de présence de l'électron à ±1Å du centre de la boite, dans l'état fondamental et dans le premier état excité.
- Les résultats numériques obtenus dans la question c) sont-ils en accord avec les tracés de la question b).
Solution
question a
Les quatre plus grandes longueurs d'onde du spectre de raies correspondant aux quatre transitions de moindre énergie. Puisque la différence d'énergie entre niveaux successifs augmente lorsque
n augmente, les transitions de moindre énergie font intervenir les nombres
n les plus petits. Le tableau suivant donne les changements d'énergie associés aux différentes transitions possibles entre les niveaux 5 à 1:
| ninitial |
nfinal |
-ΔE |
|
2
|
1
|
3 h2/8mL2
|
|
3
|
1
|
8 h2/8mL2
|
|
4
|
1
|
15 h2/8mL2
|
|
3
|
2
|
5 h2/8mL2
|
|
4
|
3
|
7 h2/8mL2
|
|
4
|
2
|
12 h2/8mL2
|
|
5
|
4
|
9 h2/8mL2
|
La longueur correspondant à une transtion ΔE obéit à:
hc/λ = -ΔE
Les quatre longueur les plus grandes du spectre de raies de ce système sont donc:
| ninitial
|
nfinal
|
λ
(nm)
|
|
2
|
1
|
1099
|
|
3
|
2
|
659.4
|
|
4
|
3
|
471.0
|
|
3
|
1
|
412.1
|
question b
question c
La probabiblité, P, de trouver l'électron à ±1Å du centre d'une boite de longueur L=10Å, c'est-à-dire entre 4 et 6 Å, ou encore entre 2L/5 et 3L/5 est:
ce qui donne P=0.387 (38.7%) pour n=1 et P=0.0486 (4.86%) pour n=2.
question d
La probabilité de présence est l'intégrale du carré de la fonction d'onde, c'est-à-dire la surface sous la courbe de Ψ2 en fonction de la position x. La probabiblité de trouver l'électron à ±1Å du centre est représentée par la surface en gris sur les figures ci-dessus. Les résultats numériques obtenus en c) sont en accord avec ces surfaces, qui représentent bien en effet environ 40% et 5% de la surface totale respectivement.
