Énoncé
Montrez que la particule dans une boite unidimensionnelle obéit à la relation de de Broglie.
Solution
La particule dans une boite unidimensionnelleest une particule confinée sur un segment de droite de longueur L. En tout position x sur le segment, 0 ≤ x ≤ L, l'énergie potentielle de la particule est nulle. Les solutions de l'équation de Schröedinger pour ce système sont:
et
où Ψ est la fonction d'ondede la particule et E son énergie totale (énergie potentielle + énergie cinétique). n est le nombre quantique, un entier strictement positif.
L'énergie potentielle de la particule étant nulle dans la boite, on a
ce qui donne
La relation de de Broglie
devient donc une relation entre la longueur d'onde de la particule et la longueur de la boite
Un examen de l'allure des fonctions d'ondes Ψ(x) révele que cette relation est en effet vérifiée:
