Énoncé
On place une charge Qo dans le vide. Exprimer la différence de potentiel électrique entre deux points A et B, situés sur un même axe passant par Qo et respectivement à une distance rA et rB de la charge. (Attention: la force qui s'exercerait sur une charge se déplacant entre A et B n'est pas constante)
Réponse
La différence de potentiel entre deux points A et B correspond au travail effectué par une charge Q lors de son déplacement de A à B, WAB , divisé par la charge déplacée. Le travail de déplacement est lui-même le produit de la force F qui s'exerce sur la charge Q par le déplacement:
Dans le cas présent, la force qui s'exerce sur la charge déplacée varie à chaque point entre A et B:
On décompose donc le déplacement de A à B en un nombre infiniment grand de déplacements infiniment petits de r à (r+dr). Puisque dr est infiniment petit, la force qui s'exerce sur la charge à la distance r est la même qu'à la distance (r+dr). Le travail de déplacement de la charge Q de r à (r+dr), dW, est donc:
Le travail de déplacement de la charge Q de A à B est la somme de tous les travaux de déplacement:
La différence de potentiel est le travail divisé par la charge déplacée:
La force qui s'exerce entre deux charges Q et Qo séparées par une distance r est donnée par la loi de Coulomb:
En valeur absolue, le travail qui accompagne un changement de la distance entre les charges de r à r+dr s'écrit:
Cependant, on a convenu de compter positivement tout changement d'énergie qui augmente l'énergie du système (c'est-à-dire de compter négativement tout changement d'énergie qui augmente l'énergie de l'environnement du système, par exemple l'observateur). Ce choix, que l'on appelle la convention de signe, est arbitraire, puisqu'on aurait tout aussi bien pu considérer positivement tout changement d'énergie qui augmente l'énergie de l'environnement du système.
Dans l'équation précédente, la charge peut être positive ou négative et dr peut être positif ou négatif selon qu'on éloigne ou qu'on rapproche Q de Qo en allant de A à B.
Par exemple, si B est plus éloigné de Qo que A, dr est positif. Si Q et Qo sont de même signe, le produit Q Qo est positif, ce qui conduit à:
Or, dans cet exemple, la force est répulsive, et le déplacement se fait dans la même direction que le vecteur force. Le système perd donc une quantité d'énergie égale au travail de déplacement. Celui-ci doit, par conséquent, d'après la convention de signe, être négatif:
On peut vérifier aisément avec d'autres exemples (B plus proche de Qo que A, ou encore Q et Qo de signe opposés) qu'il est toujours nécessaire d'écrire:
où le signe négatif est ajouté pour respecter la convention de signe.
La différence de potentiel entre A et B s'écrit:
L'intégration donne:
