Compatibilité des grandeurs physiques

Il est clair que deux grandeurs physiques A et B ne sont mesurables simultanément, ou compatibles que si la détermination précise de l'une n'empêche pas celle de l'autre. Ceci signifie que les fonctions propres de doivent aussi être fonctions propres de . Par conséquent, les deux grandeurs physiques A et B ne sont compatibles que si les opérateurs qui leur sont associés admettent des fonctions propres communes. On montre que la condition nécessaire et suffisante pour que ceci soit possible est que et commutent:

Exemples:

1. x et ne sont pas compatibles, à cause de la relation de commutation fondamentale, (1.9). Par contre, y et sont compatibles, toujours selon (1.9).

2. Les trois composantes et ne sont pas compatibles; en effet, on peut montrer que

   

   

   

3. Par contre, l'opérateur

   

   associé à la propriété (carré de la longueur du moment cinétique) commute avec n'importe quelle composante de :

   

   On peut donc déterminer simultanément la longueur de et une et une seule de ses composantes.

Dans le contexte de la chimie quantique, où l'on s'intéresse aux états stationnaires des molécules, états d'énergie E précise, rappelons-le, il est important et utile d'établir les propriétés qui sont mutuellement compatibles et compatibles avec E. Ce sont des constantes de mouvement. Les états stationnaires sont complètement et uniquement spécifiés par la donnée des valeurs propres de et des opérateurs associés à ces constantes de mouvement. Très souvent, ces propriétés dénotent l'invariance du système dans certaines opérations de symétrie.

Exemples:

1. L'électron de l'atome d'hydrogène sent un potentiel de symétrie sphérique, (écrit en c.g.s. pour simplifier); son hamiltonien

   

   commute avec et , par exemple (n'importe quelle composante conviendrait). Le système admet donc deux constantes de mouvement, soit la longueur de et une de ses composantes, . Les états stationnaires de l'atome sont ainsi spécifiés par trois nombres quantiques, n, l, m, associés à E, et selon

   

   

   

   (On verra ces résultats en plus grands détails au Chapitre 3)

2. L'électron dans voit un potentiel de symétrie cylindrique. La composante du moment cinétique électronique le long de l'axe internucléaire (axe des z) est conservée. En plus, l'invariance du potentiel dans l'opération d'inversion , par rapport au centre de l'axe internucléaire (identifié ici comme l'origine des coordonnées) permet la classification des états stationnaires selon leur caractère de symétrie par rapport à cette opération. Par exemple, l'état

   est l'état de plus basse énergie ayant (premier état du type ), et de symétrie paire par rapport à l'inversion.