Théorie cinétique des gaz

1. La vitesse d'échappement d'une particule de masse d'un corps massif, de masse , comme la terre, est définie par la condition

   

   où r est la distance séparant le centre des 2 corps initialement, et est la constante gravitationnelle.

   1. Déterminez la vitesse d'échappement d'une molécule et celle d'une molécule de la terre (, le rayon terrestre est ).

   2. À quelle température ces molécules de gaz devraient-elles se trouver pour être animées d'une vitesse (radiale) moyenne égale à leur vitesse d'échappement?
   3. Répétez les calculs précédents pour la vitesse d'échappement des mêmes molécules de la surface lunaire. La masse de la lune est , son rayon, .

2. Dans la technologie des faisceaux moléculaires, on utilise un sélecteur de vitesses pour filtrer les molécules selon leur vitesse de vol (translation 1D, dans la direction de propagation du faisceau moléculaire). Ce sélecteur consiste en un ensemble de disques, équidistants de d, montés rigidement sur un axe commun animé d'un mouvement de rotation uniforme de fréquence . Chaque disque porte une fente radiale et les disques sont disposés de telle sorte que les fentes associées à 2 disques consécutifs sont décalées d'un angle fixe. On trouverait une illustration de ce dispositifs à la figure 1.14 de Atkins, figures 27.8, 27.9 de McQuarrie et Simon, et une simulation animée au site web suivant:

   http://www.carlton.paschools.pa.sk.ca/chemical/KineticEnergy/TempAndKE.htm

   1. Montrez qu'à une valeur fixée de , le dispositif ne laissera passer que des molécules de vitesse

      

   2. Soit , . Déterminez la gamme de vitesses des molécules sélectionnées que l'on peut couvrir en variant de 0 à

3. On a placé un sélecteur de vitesse (voir problème précédent), comportant 5 disques équidistants de avec des fentes décalées de d'un disque à l'autre, entre une source (four) d'atomes Kr et un détecteur de tels atomes.

   En faisant varier la fréquence de rotation, , des disques, on a obtenu les résultats suivants, où est l'intensité du faisceau de Kr détecté à la température T:

   

   En portant en fonction de , où est la vitesse de translation (1D) des atomes détectés à une fréquence de rotation , montrez que la distribution de vitesse expérimentale est bien conforme à la loi de Maxwell-Boltzmann.

4. Dans l'espace 3D, la distribution isotrope des vitesses a conduit à l'introduction de la distribution 'radiale'

    

   Considérons maintenant un 'gaz 2D', où les molécules sont confinées à se mouvoir dans un plan.

   Comment doit-on modifier eq.(2.27) pour décrire la distribution 'radiale' dans ce cas? Obtenez, pour ce cas 2D, l'expression explicite de la vitesse radiale moyenne <v> en fonction de la température T et de la masse moléculaire m.

5. Le libre parcours moyen d'une molécule dans un gaz est défini comme étant la distance moyenne parcourue par cette molécule entre deux collisions. Le temps séparant deux collisions étant

   

   où est la fréquence de collisions subies par la molécule considérée, c.à d.

   

   On peut alors définir le libre parcours moyen par

    

   où <v> est la vitesse (radiale) moyenne des molécules de gaz.

   Montrez que l'on peut écrire en termes de la température T, la pression P du gaz et la section efficace de collisions de la façon suivante:

    

6. 1. Calculez, à , le rapport de (a) la vitesse moyenne, (b) l'énergie cinétique moyenne de molécules et d'atomes .
   2. Calculez le libre parcours moyen d'une molécule et celui d'un atome à et . On donne et pour et , respectivement.
   3. À quelle pression le libre parcours moyen d'un atome , à , serait-il égal à la dimension d'un volume (cubique) de un litre?

7. Calculez la pression exercée par une mole de considérée (a) un gaz parfait, (b) un gaz de Van der Waals avec dans des conditions de volume et de température suivantes:
   1. ,
   2. ,

8. 1. Un gaz à et a un volume molaire plus petit que celui calculé par la loi des gaz parfaits. Calculez ce volume et indiquez laquelle des deux types de forces intermoléculaires, (force attractive ou force répulsive), est dominant au sein de ce gaz.
   2. même question pour un gaz dont le volume molaire à et est plus grand que celui prédit par la loi des gaz parfaits.

9. Un gaz est bien décrit par l'équation de Van der Waals avec . Son volume molaire à et se trouve égal à .
   1. Quelle est la valeur de la constante b de Van der Waals pour ce gaz?
   2. Déterminez le point critique de ce gaz.