Exercices

Particules dans une boîte

1. Montrez que dans tout état stationnaire de la particule dans une boite unidimensionnelle.

2. Montrez que

   

   est une fonction propre de l'opérateur . Quelle en est la valeur propre? Vérifiez que cette fonction propre est bien normée sur la boite .

3. On peut ré-écrire , (2.10) sous la forme

   

   En utilisant les résultats de l'exercice précédent, déterminez la probabilité que l'impulsion, , de la particule préparée dans l'état vaut i) , ii) , iii) une valeur quelconque autre que .

   Pouvez-vous expliquer le résultat sur la base de vos observations?

4. Soit une particule dans une boîte unidimensionnelle . On supposera que cette particule est préparée au temps t=0 dans l'état normé suivant:

   

   où

   

   est la fonction propre normée de associée à la valeur propre .

   1. En déduire l'expression de la fonction d'état à un temps t>0.
   2. Déterminez la probabilité de trouver, au temps t, la particule possédant
      • une énergie ,
      • une énergie ,
      • une impulsion ,
      • une impulsion

5. En théorie cinétique des gaz, une mole d'un gaz parfait est un système de molécules considérées comme des particules indépendantes, se mouvant librement dans une boîte cubique de côté L.
   1. Écrivez l'hamiltonien de ce système.
   2. Quelles sont, en unité de , l'énergie de l'état fondamental et celle du premier état excité du système? Donnez la dégénérescence respective de chacun de ces niveaux.
   3. Écrivez la fonction d'onde décrivant l'état fondamental de ce système.
6. Une particule de masse m est contrainte à se mouvoir dans une boîte carré de côté L.
   1. Construisez un diagramme de niveaux d'énergie pour ce système, montrant tous les niveaux d'énergie inférieure à . Indiquez la dégénérescence respective de chaque niveau.

      La boîte bidimensionnelle carrée peut-être utilisée dans un modèle simple de la chlorophylle, un système de 26 électrons conjugués dans un plan.

   2. Écrivez l'hamiltonien décrivant ce système en traitant les 26 électrons comme des particules indépendantes se mouvant dans la boîte.
   3. Esquissez toutes les séparations de variables que l'on doit effectuer pour décrire les états stationaires de la chlorophylle dans ce modèle.

   Oscillateur harmonique

7. Par une certaine technique d'excitation au laser, on a pû préparer, au temps t=0, la molécule HCl dans l'état vibrationnel normé suivant:

   

   où sont des fonctions propres normées de l'hamiltonien de l'équation (2.37).

   1. En déduire l'état vibrationnel de la molécule à un temps t>0.
   2. Déterminez la probabilité que la molécule ainsi préparée possède, au temps t
      • une énergie vibrationnelle de ,
      • une énergie vibrationnelle de .

   3. Calculez la valeur moyenne de l'énergie vibrationnelle de la molécule à un temps t>0.
8. On considère dans ce probème un oscillateur harmonique unidimensionnel défini par l'équation (2.37).
   1. Vérifiez que

      

      est la fonction propre de associée à l'état fondamental de l'oscillateur.

   2. Définissant

       

      avec , montrez que est une fonction propre de avec valeur propre .

      L'opérateur et son conjugué hermitique (adjoint),

       

      jouent un rôle central dans la théorie quantique des vibrations harmoniques. Ils sont appellés opérateurs de création et d'annihilation respectivement à cause des relations suivantes

        

      qui décrivent l'action de ces opérateurs sur les fonctions propres normées de .

   3. Démontrez la relation de commutation suivante:

       

   4. Démontrez la relation suivante:

       

   5. Vérifiez que ( a été définie ci haut) est fonction propre de avec valeur propre .
   6. En employant les propriétés qu'on vient de citer des opérateurs , (2.53), (2.54) et (2.55) incluant leur définition, (2.52) et (2.51), démontrez, pour tout état stationaire de l'oscillateur harmonique, les résultats suivants:
      1. <x> = 0,
      2. ,
      3. ,
      4. ,
      5. 
   7. Démontrez la relation suivante (règle de sélection):

      

9. La fonction suivante, appelée fonction de Morse, est souvent utilisée comme un modèle plus réaliste du potentiel régissant les mouvements nucléaires de molécules diatomiques:

    

   où et est l'énergie de dissociation de la molécule. Développez la fonction en série de Taylor au voisinage de x=0 pour obtenir, au second ordre, un potentiel décrivant un oscillateur harmonique. Comment la constante de force, donc la fréquence de l'oscillateur sont-elles reliées aux paramètres et de (2.58)?

   Pour HCl, et . Calculez la constante de force de rappel de HCl.