Les considérations des constantes de mouvements de la section précédente suggèrent que l'on écrive les fonctions propres de
sous la forme suivante
où 
est une harmonique sphérique. Par définition,
c'est une fonction propre commune de 
et 
, avec valeur propre 
et 
respectivement:
Dans ce cas, comme r est fixé à
, et l'hamiltonien ne dépend que des angles 
, le facteur 
est une simple constante. En d'autres termes, les harmoniques sphériques 
sont directement fonctions propres de 
avec valeurs propres 
On montre, à partir des propriétés des harmoniques sphériques, que le spectre rotationnel pur est régi par la règle de sélection
Substituant (3.34) dans l'équation de Schrödinger, (3.17), avec l'hamiltonien
exprimé en coordonnées
polaires selon (3.21), on obtient une équation pour
le facteur radial 
:
Dans le cas où 
est le potentiel de Coulomb,
(3.2), cette équation radiale ne donne
lieu à une solution 
normable, c.à.d. qui ne diverge pas
ni à l'origine ni à l'infini, que pour des valeurs de
l'énergie répondant à la loi de quantification suivante
Le nombre quantique n est appellé nombre quantique principal.
Pour une valeur donnée de ce nombre, il existe plusieurs
solutions pour la fonction 
selon la valeur du nombre
quantique l. D'où l'identification des solutions de
(3.38) par la paire 
; on les note 
sont des fonctions réelles de la variable r; Elles possèdent
toutes la structure générale d'un produit d'une exponentielle
décroissante par un polynôme de degré n-l. Les premières
fonctions 
sont données au tableau 3.3. Leur
expression contient un paramètre constant qui a la dimension
d'une longueur:
Cette constante est appellée rayon de Bohr et vaut 0.5292 Å .
Table 3.3: Premières fonctions d'onde radiales de l'atome
hydrogénoïde
On trouve aussi que le nombre quantique l est soumis à la condition
ce nombre quantique est appellé nombre quantique azimutal. Le nombre quantique m, qui varie, rappelons-le, de -l à +l par valeurs entières, porte le nom de nombre quantique magnétique.
