Exercices

1. En substituant (), () dans (), vérifiez le résultat donné en ().
2. Vérifiez que est fonction propre de . Montrez qu'elle ne sastisfait à la condition de périodicité (3.32) que si Z.
3. Dans l'approximation de Born-Oppenheimer, le mouvement interne des noyaux dans une molécule diatomique A-B est décrit par l'hamiltonien relatif

    

   où est le potentiel effectif dans un état électronique donné. Dans l'état fondamental des diatomiques stables, atteint un minimum à la distance internucléaire d'équilibre de la molécule. Il est alors d'usage de représenter de eq.(3.51) sous la forme approchée:

    

   où

     

   1. Montrez que, sous cette forme approchée, l'hamiltonien conduit à une équation de Schrödinger séparable.
   2. En rappelant la loi de quantification de l'énergie d'un oscillateur harmonique et celle d'un moment cinétique, déduisez que l'énergie des mouvements nucléaires est quantifiée selon une loi de la forme suivante:

      

      Quelle est la dégénérescence de chaque niveau ?

   3. En admettant les règles de sélection

      

      montrez que le spectre d'absorption ro-vibrationnelle de la molécule consiste en une bande avec deux branches, décrites par

      

      où . Montrez que les raies dans chacune des branches R et P sont équidistantes. La position centrale de la bande est transparente (ne comporte pas de raie d'absorption). Expliquez ce fait.

   4. Le spectre ro-vibrationnelle de consiste en une bande centrée en , avec des raies presque équidistantes, séparées par . À partir de ces données, déterminez la constante de force k et la longueur de liaison d'équilibre, , pour cette molécule. Qu'arriverait-il au spectre si l'on fait la substitution isotopique sur la molécule?
4. On définit

   

   

   1. Les opérateurs sont-ils hermitiques? Justifiez votre réponse.
   2. Montrez que satisfont aux relations de commutation suivantes:

       

      

      

   3. Montrez que le produit peut être exprimé sous la forme

      

      et qu'il est hermitique.

   4. Soit une fontion propre de et de de nombres quantiques . En utilisant les relations de commutation précédentes, montrez que est aussi nécessairement fonction propre des mêmes opérateurs, et que les valeurs propres associées correspondent aux nombres quantiques .

5. 1. Montrez que et sont toujours des fonctions propres de et , mais ne sont pas fonctions propres de . Déterminez la probabilité de trouver a) , b) dans cet état. Quelle serait la valeur moyenne de dans cet état?

   2. Montrez que se comporte comme , où est une fonction de la variable radiale r seulement.

   3. La combinaison linéaire définit une orbitale hybride sp. Montrez qu'elle est fonction propre de et de , mais pas de . Déterminez la probabilité de trouver dans cet état.

   4. Supposons qu'un atome d'hydrogène était préparé dans un état décrit par au temps t = 0. Écrivez la fonction d'onde de l'atome à un temps t > 0. Déterminez la probabilité de trouver l'atome au temps t avec a) E = -Ry, b) , c) , d) . Calculez la valeur moyenne de E, et au temps t.

6. Dans les questions suivantes, on utiliserait la fonction de distribution radiale pour calculer les valeurs moyennes de propriétés ne dépendant que de la variable radiale r. On aura besoin de la formule suivante

   

   1. Montrez que la valeur moyenne <r> vaut a) dans l'état 1s, b) dans l'état 2s.

   2. Calculez <r> dans les états et 3s. Vérifiez que votre résultat suit bien la formule générale suivante:

      

   3. Calculez dans l'état 1s, où est le potentiel de Coulomb de l'eq.3.2. Vérifiez que cette valeur moyenne de vaut . (Utilisez l' pour exprimer le potentiel en coordonnées relatives).

   4. Calculez dans un état quelconque. Vérifiez la relation générale suivante

      

      Cette relation implique que 2<T> + <V> = 0 dans tout état stationnaire de l'atome, T étant l'énergie cinétique de l'électron. Ce résultat s'appelle le théorème du viriel.